Integral Dengan Teknik Substitusi

hai kawan penggiat belajar,Pada posting sebelumnya sudah dibahas mengenai Integral Tak Tentu. Soal-soal pada posting itu masih berupa integral yang sederhana. Jika ada bentuk integral yang lebih rumit, tidak bisa menggunakan cara seperti biasa lagi.

Salah satu cara menyelesaikan soal integral yang rumit tersebut adalah dengan teknik substitusi. Teknik substitusi menggunakan permisalan dan turunan untuk membuat soal integral menjadi lebih sederhana. Berikut ini adalah sepuluh contoh soal integral menggunakan teknik substitusi. Selamat berlatih

$\int (2x^4 - 5)^6 x^3 \: \mathrm{d}x = \dots$

Tutup Jawaban

Lakukan permisalan $u=2x^4 - 5$ dan turunkan kedua ruas

$\begin{align*} {\color{red} u } &\color{red}= 2x^4 - 5 \\ \mathrm{d}u &= 8x^3 \: \mathrm{d}x \\ \frac{1}{8} \mathrm{d}u &= x^3 \: \mathrm{d}x \\ {\color{blue} x^3 \: \mathrm{d}x} &{\color{blue}= \frac{1}{8} \mathrm{d}u} \end{align*}$
Lakukan substitusi

$\begin{align*} \int ({\color{red}2x^4 - 5})^6 {\color{blue} x^3 \: \mathrm{d}x} &= \int {\color{red}u}^6 \: \color{blue} \frac{1}{8} \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{8} \int u^6 \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{7} u^7 + C \\ &= \frac{{\color{red}u}^7}{56} + C \\ &= \frac{({\color{red}2x^4-5})^7}{56} + C \end{align*}$
$\int \frac{10-4x}{\sqrt[3]{(x-2)(x-3)}} \: \mathrm{d}x = \dots$

Tutup Jawaban

Misalkan lalu turunkan kedua ruas:

$\begin{align*} u &= (x-2)(x-3) \\ u &= x^2-5x+6 \\ \mathrm{d}u &= 2x - 5 \: \mathrm{d}x \end{align*}$
Lakukan substitusi :

$\begin{align*} \int \frac{10-4x}{\sqrt[3]{(x-2)(x-3)}} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{-2(2x-5) \: \mathrm{d}x}{\sqrt[3]{x^2-5x+6}} \\ &= \int \frac{-2 \: \mathrm{d}u}{\sqrt[3]{u}} \\ &= \int -2 \cdot u^{-\frac{1}{3}} \: \mathrm{d}u \\ &= -2 \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C \\ &= -3 (x^2-5x+6)^{\frac{2}{3}} + C \\ &= -3 \sqrt[3]{(x^2-5x+6)^2} + C \end{align*}$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4x+3}} = \dots$

Tutup Jawaban

Misalkan lalu turunkan kedua ruas:

$\begin{align*} u &= 4x+3 \\ \mathrm{d}u &= 4 \: \mathrm{d}x \\ \frac{1}{4} \: \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \\ \end{align*}$
Lakukan substitusi :

$\begin{align*} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4x+3}} &= \int \frac{\frac{1}{4} \: \mathrm{d}u}{\sqrt{u}} \\ &= \frac{1}{4} \int u^{-\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{4x+3} + C \end{align*}$
$\int \sqrt{x^4 - 3x^2} \: \mathrm{d}x = \dots$

Tutup Jawaban

Faktorkan $x^2$ dari soal

$\begin{align*} \int \sqrt{x^4 - 3x^2} \: \mathrm{d}x &= \int \sqrt{x^2(x^2 - 3)} \: \mathrm{d}x \\ &= \int x \sqrt{x^2 -3} \: \mathrm{d}x \end{align*}$
Lalu misalkan u dan cari turunan dari kedua ruas :

$\begin{align*} u &= x^2 - 3 \\ \mathrm{d}u &= 2x \: \mathrm{d}x \\ \frac{\mathrm{d}u}{2x} &= \mathrm{d}x \end{align*}$
Lalu lakukan substitusi :

$\begin{align*} \int x \sqrt{x^2 -3} \: \mathrm{d}x &= \int \cancel{x} \cdot \sqrt{u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{2\cancel{x}} \\ &= \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{3} (x^2-3)^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{3} (x^2-3) \sqrt{x^2-3} + C \end{align*}$
$\int \frac{4x+8}{x^2+4x+25} \: \mathrm{d}x = \dots$

Tutup Jawaban

Lakukan permisalan dan turunkan kedua ruas :

$\begin{align*} u &= x^2+4x+25 \\ \mathrm{d}u &= (2x + 4) \: \mathrm{d}x \end{align*}$
Lalu substitusi :

$\begin{align*} \int \frac{4x+8}{x^2+4x+25} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{2(2x+4)}{x^2+4x+25} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{2(2x+4) \: \mathrm{d}x}{x^2+4x+25} \\ &= \int \frac{2 \: \mathrm{d}u}{u} \\ &= 2 \int \frac{\mathrm{d}u}{u} \\ &= 2 \ln |u| + C \\ &= 2 \ln |x^2+4x+25| + C \end{align*}$
$\int \frac{6x^3}{\sqrt{x^2+1}} \: \mathrm{d}x = \dots$

Tutup Jawaban

Misalkan $u = x^2+1$ lalu turunkan kedua ruas :

$\begin{align*} u &= x^2+1 \\ \mathrm{d}u &= 2x \: \mathrm{d}x \\ \frac{\mathrm{d}u}{2} &= x \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$
Setelah itu cari juga $x^2$

$\begin{align*} u &= x^2 + 1 \\ u-1 &= x^2 \\ x^2 &= u - 1 \end{align*}$
Lakukan substitusi

$\begin{align*} \int \frac{6x^3}{\sqrt{x^2+1}} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{6 \cdot x^2 \cdot x}{\sqrt{x^2+1}} \: \mathrm{d}x \\ &= 6 \int \frac{(u-1)}{\sqrt{u}} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{2} \\ &= 6 \cdot \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} (u-1) \: \mathrm{d}u \\ &= 3 \int u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}u \\ &= 3 \left( \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2u^{\frac{1}{2}} \right) + C \\ &= 2u^{\frac{3}{2}} - 6u^{\frac{1}{2}} + C \\ &= 2(x^2+1)^{\frac{3}{2}} - 6(x^2+1)^{\frac{1}{2}} + C \\ &= 2(x^2+1)\sqrt{x^2+1} - 6\sqrt{x^2+1} + C \\ \end{align*}$
$\int x^5 \sqrt{1+x^2} \: \mathrm{d}x = \dots$

Tutup Jawaban

Misalkan $u=1+x^2$ dan turunkan kedua ruas:

$\begin{align*} u &= 1+x^2 \\ \mathrm{d}u &= 2x \: \mathrm{d}x \\ \frac{\mathrm{d}u}{2} &= x \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$
Setelah itu cari juga $x^2$

$\begin{align*} u &= 1+x^2 \\ u-1 &= x^2 \\ x^2 &= u - 1 \end{align*}$
Lakukan substitusi

$\begin{align*} &\int x^5 \sqrt{1+x^2} \: \mathrm{d}x \\ &= \int x \cdot x^4 \sqrt{1+x^2} \: \mathrm{d}x \\ &= \int x \cdot (x^2)^2 \sqrt{1+x^2} \: \mathrm{d}x \\ &= \int (x^2)^2 \sqrt{1+x^2} \: x \: \mathrm{d}x \\ &= \int (u-1)^2 \sqrt{u} \: \frac{\mathrm{d}u}{2} \\ &= \frac{1}{2} \int \sqrt{u} (u^2-2u+1) \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} (u^2-2u+1) \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \int u^{\frac{5}{2}} - 2u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \left(\frac{2}{7}u^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}u^\frac{3}{2} \right) + C \\ &= \frac{1}{7}u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3}u^\frac{3}{2} + C \\ &= \frac{1}{7}(x^2+1)^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5}(x^2+1)^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3}(x^2+1)^\frac{3}{2} + C \end{align*}$
$\int \sqrt{1+\sqrt{x}} \: \mathrm{d}x = \dots$

Tutup Jawaban

Misalkan dan cari turunan kedua ruas:

$\begin{align*} u &= 1 + \sqrt{x} \\ u - 1 &= \sqrt{x} \\ (u-1)^2 &= x \\ 2(u-1) \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \end{align*}$
Lakukan Substitusi :

$\begin{align*} \int \sqrt{1+\sqrt{x}} \: \mathrm{d}x &= \int \sqrt{u} \: 2(u-1) \: \mathrm{d}u \\ &= 2 \int u^{\frac{1}{2}}(u-1) \: \mathrm{d}u \\ &= 2 \int u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}u \\ &= 2 \left(\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right) + C \\ &= \frac{4}{5}u^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{4}{5}(1+\sqrt{x})^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3}(1+\sqrt{x})^{\frac{3}{2}} + C \end{align*}$
$\int x \sqrt[3]{4 - 5x} \: \mathrm{d}x = \dots$

Tutup Jawaban

Misalkan dan turunkan kedua ruas :

$\begin{align*} u &= \sqrt[3]{4 - 5x} \\ u &= (4-5x)^{\frac{1}{3}} \quad \quad \text{ Kiri kanan dipangkatkan 3}\\ u^3 &= 4 - 5x \\ 3u^2 \: \mathrm{d}u &= -5 \: \mathrm{d}x \\ -\frac{3u^2}{5} \: \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \\ \end{align*}$
Cari juga nilai x dari persamaan diatas

$\begin{align*} u &= \sqrt[3]{4 - 5x} \\ u &= (4-5x)^{\frac{1}{3}} \quad \quad \text{ Kiri kanan dipangkatkan 3}\\ u^3 &= 4 - 5x \\ 5x &= 4 - u^3 \\ x &= \frac{4-u^3}{5} \end{align*}$
Substitusi soal dengan hasil permisalan diatas

$\begin{align*} &\int x \: \sqrt[3]{4 - 5x} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{4-u^3}{5} \cdot u \cdot -\frac{3u^2}{5} \: \mathrm{d}u \\ &= \int \frac{u (-3u^2)(4-u^3)}{25} \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{25} \int -3u^3(4-u^3) \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{25} \int -12u^3 + 3u^6 \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{25} \left(-\frac{12}{4}u^4 + \frac{3}{7}u^7 \right) + C \\ &= -\frac{3}{25}u^4 + \frac{3}{175}u^7 + C \\ &= \frac{3}{175}u^7 - \frac{3}{25}u^4 + C \\ &= \frac{3}{175}\sqrt[3]{(4 - 5x)^7} - \frac{3}{25}\sqrt[3]{(4 - 5x)^4} + C \\ &= \frac{3}{175}(4 - 5x)^2\sqrt[3]{(4 - 5x)} - \frac{3}{25}(4 - 5x)\sqrt[3]{(4 - 5x)} + C \end{align*}$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{(x+\sqrt{x^2+1})^{99}} = \dots$

Tutup Jawaban

Lakukan permisalan untuk $u=x+\sqrt{x^2+1}$ , dan dapatkan persamaan x :

$\begin{align*} u - x &= \sqrt{x^2+1} \\ u^2 - 2ux + x^2 &= x^2+1 \\ - 2ux &= 1-u^2\\ x &= \frac{u^2-1}{2u}\\ \end{align*}$
Lalu cari turunannya, ingat bahwa turunan dari pecahan ( $\frac{u}{v}$ ) adalah $\frac{u'v-v'u}{v^2}$

$\begin{align*} x &= \frac{u^2-1}{2u}\\ \mathrm{d}x &= \frac{2u(2u)-2(u^2-1)}{4u^2} \: \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}x &= \frac{4u^2-2u^2+2}{4u^2} \: \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}x &= \frac{2u^2+2}{4u^2} \: \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}x &= \frac{u^2+1}{2u^2} \: \mathrm{d}u \end{align*}$
Setelah itu baru lakukan substitusi :

$\begin{align*} &\int \frac{\mathrm{d}x}{(x+\sqrt{x^2+1})^{99}} \\ &= \int \frac{u^2+1}{2u^2 \cdot u^{99}} \: \mathrm{d}u \\ &= \int \frac{u^2+1}{2u^{101}} \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{u^2+1}{u^{101}} \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \int u^{-99} + u^{-101} \: \mathrm{d}u \\ &= \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{98}u^{-98} - \frac{1}{100}u^{-100} \right) + C \\ &= -\frac{1}{196}u^{-98} - \frac{1}{200}u^{-100} + C \\ &= -\frac{1}{196(x+\sqrt{x^2+1})^{98}} - \frac{1}{200(x+\sqrt{x^2+1})^{100}} + C \\ \end{align*}$ Semoga Manfaat